Taq-iKisra, antifuniculares en el siglo VI

En estructuras hay una famosa frase en latín que reza ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum («como cuelga un cable flexible, así invertido, se encuentran las piezas contiguas de un arco»), escrita a finales del siglo XVII por Robert Hooke tras haber colaborado con Christopher Wren en la realización de la cúpula de la catedral londinense de San Pablo. 

Robert Hooke (retrato a partir de reconstrucción de Rita Greer)

Hooke fue un científico experimental británico quien usó su ingenio para trabajar de forma exitosa en materias tan dispares como la biología, la arquitectura, la medicina o la mecánica de suelos deformables, y su legado encierra un saber que arquitectos e ingenieros emplean en diferentes entornos: la definición del arco perfecto, la catenaria, que dio origen a los funiculares —formas que adoptan los cables sometidos a cargas puntuales— y a su inversa, los que se han venido a llamar antifuniculares y que sirve de base al presente artículo.

Antonio Gaudí es la máxima expresión del diseño usando la técnica de los antifuniculares consistiendo sus obras en estructuras a compresión ideadas invirtiendo estructuras de cables con pesas.

Tal vez debido a la manera de ver las cosas que me fui forjando con el tiempo, siempre me costó admitir que Hooke hubiese sido el primero en descubrir la catenaria. Seguro que fue el primero que lo imprimió pero, tantas cosas se han perdido con la quema de bibliotecas, con las guerras, con la destrucción de ciudades…, que era fácil sospechar que el concepto de catenaria se pudiera haber alcanzado con antelación.

Un día, en una revista de historia me topé con Taq-iKisra, que significa «el Iwan de Cosroes». En cuanto lo vi supe que era lo que había estado buscando, casi anhelando en mi corazón: la prueba irrefutable de que aquello era una catenaria, ¡diez siglos antes de Hooke! Una catenaria que comenzaba desde la cimentación y que terminaba en el punto más alto. Por mucho que busqué, nadie se había dado cuenta antes, por lo menos, de forma taxativa. Sólo quedaba comprobar con cálculos la suposición inicial y a ello me dediqué y permítasseme la licencia de adelantar que con éxito. 

Me empapé con pasión de la cultura sasánida, una cultura muy cristianizada, sobre todo en la zona más occidental, que el Islam barrió del mapa. Al final no había duda: el arquitecto de Taq i-Kisra, a quien me he permitido el lujo de llamarle Hernando, diseñó Taq-iKisra mediante un antifunicular.

Taq i-Kisra en Bagdad, Iraq

Para el lector con deriva técnica comentaré la evolución del razonamiento que me llevó a concluir que el autor de esta fabulosa obra puso en práctica allá por el siglo VI un modelo estructural de antifunicular de forma similar a como Gaudí realizó muchas de sus más famosas obras durante el siglo XX.

Históricamente se han venido empleando en ingeniería y arquitectura diferentes formas de arco incluyendo el de medio punto —elemento más representativo de la arquitectura caldea casi 3 000 años a.C. y que fue heredado por etruscos, romanos y griegos propagándose a la arquitectura renacentista y la barroca—, el ojival tan profusamente empleado en la arquitectura gótica con numerosas variantes y el de herradura que sustenta tantas obras del arte hispanomusulmán, mozárabe y románico.

Ya, hacia el 1500, Leonardo da Vinci escribe «El arco no es más que una fuerza causada por dos debilidades: en efecto, el arco está compuesto por dos cuartos de círculo y cada una de ellos, débil por sí mismo, desea caer, pero oponiéndose cada uno a la ruina del otro las dos debilidades se transforman en una sola fuerza empujándose los cuartos mutuamente».

Los arcos parabólicos y catenarios vienen generados respectivamente por una parábola o una catenaria y requieren un especial tratamiento que comentaremos en pocas líneas.

En un arco, las fuerzas del peso propio y las sobrecargas que recoge, se transmiten en forma de fuerzas laterales que deben ser contenidas para evitar su ruina. Dada la forma que presenta el arco cuando una carga vertical se posa sobre él, la fuerza se distribuye hacia ambos lados siguiendo su curva lo que obliga y que la fuerza existente en cada punto vaya cambiando la dirección de su vector y esto conlleva la formación de fuerzas horizontales que al combinarse con sus respectivas verticales compongan la resultante en cada punto. Uno de los problemas más relevantes a la que se han enfrentado quienes han abordado la construcción de arcadas era la contención de estas fuerzas horizontales que surgían con los materiales y tecnologías propias de cada época ya que una insuficiente absorción y transmisión de esfuerzos acabaría en la ruina de la estructura y un criterio excesivamente conservador de los márgenes de seguridad podrían crear una sobrecarga en peso propio adicional que restaría esbeltez a la obra y podría provocar otros problemas secundarios —alcanzar mayor sección en las columnas, mayor espesor en muros de carga, crear cimentaciones de mayor sección o necesidad de alcanzar mayor profundidad en busca de terrenos con mejores propiedades mecánicas—. 

Caracterizar correctamente la línea de empujes de un arco ha sido el objetivo de ingenieros y arquitectos vinculados con la edificación desde que comenzaron a emplearse y se han encontrado distintas formas de aproximar la solución, muchas de ellas, partiendo de la premisa del tercer grado de hiperestaticidad que presentan al construirlos con fábrica de ladrillos o piedras canteadas empleando el mortero como aglomerante. Esta línea de empujes se puede definir como el lugar geométrico de los centros de empuje de una estructura dada cuando una serie de fuerzas recorren las diferentes piezas componentes en contacto mutuo. Su análisis matemático es laborioso y por ello se recurrió a adoptar métodos gráficos de cálculo y modelos discretos escalables. Hoy en día el avance tecnológico y el corsé normativo orientan al técnico al uso de los estados límites y a la modelización por elementos finitos con ayuda de herramientas computacionales.

La solución matemática a la forma catenaria no fue resuelta hasta la presentación en 1691 por Johann Bernoulli de su Solutio problematis funicularii y por Christiaan Huygens de su Dynastae Zulichemii, solutio problematis funicularii como respuesta a un desafío matemático.

Para centrar el contenido imaginemos un hilo de longitud superior a la separación entre sus extremos que se encuentran anclados sometido únicamente a su peso. La tensión de la fibra será máxima en los puntos de máxima pendiente, en los extremos y dado que la componente horizontal es constante en todos sus puntos habrá de ser la componente vertical la que se incremente con la altura. Conocida la longitud y la densidad lineal de la cuerda y las posiciones de los puntos de apoyo se podrá calcular la tensión en cada punto y la geometría de su desarrollo en estado de equilibrio. Cuando la cuerda se somete a una carga constante por unidad horizontal y sus extremos se hallan simétricos respecto a su eje la curva de equilibrio adquiere la forma de una parábola simétrica. Si se invierte la forma parabólica que adopta la cuerda respecto de un plano horizontal se obtendría la forma ideal de un arco que, sometido a la carga ahora generada sufriría, en un caso ideal, exclusivamente esfuerzos de compresión —en la realidad se presentarían mínimos momentos de flexión y fuerzas cortantes—. 

Al variar la disposición de la carga se altera la geometría de la cuerda en equilibrio pero siempre ha de cumplirse que la tensión sea tangente a la trayectoria en cada punto de la fibra.

En el arco de Taq-iKisra se supone que el ingeniero hubo de contar con modelos reales sobre los que basar su diseño definitivo —algo que también realizaba Gaudí quien creaba fabulosas estructuras colgantes que posteriormente fotografiaba para invertir su sentido diseñando a continuación el antifunicular correspondiente—.

El arco en cuestión presenta 30.0 metros de altura con una luz libre de 25.6 metros. No presenta una simetría perfecta y su desarrollo puede dividirse en tres zonas: la zona de la arcada, la de transición y la de espesor constante como puede verse en la figura siguiente.

Forma actual de la sección recta del arco de Taq-iKisra arch (cotas en m). Adaptada de (Chandra Makoond 2015).

Se determinaron las características mecánicas de los materiales empleados de acuerdo con los valores ofrecidos en Chandra Makoond [2015]. Se empleó el Eurocódigo 6 para cuantificar la tensión de compresión de la fábrica de ladrillo en acuerdo con

donde el primer factor es la tensión de compresión de los ladrillos y el segundo la del mortero. Cuando la carga es paralela su valor es más reducido y se ha considerado de un 60% del nominal de acuerdo al EC6 —aplicable para construcciones convencionales más delgadas—. El módulo elástico fue considerado, según recomendación del EC6 1000 veces la tensión de compresión.

Empleando un análisis estructural sobre un modelo bidimensional por elementos finitos pueden observarse los siguientes resultados.

Tensiones mínimas (arriba) y máximas (abajo) debidas al peso propio en N/m2. A la derecha, círculos de Mohr de tensión en puntos críticos en Mpa. (Imagen tomada de Hernández-Montes et al 2017)

Considerando que la falta de simetría podría ser debida a un fallo de construcción o a alguna acción que pudiera haber afectado a la estructura durante su largo período de vida útil se plantean dos modelos geométricos, una para una curva parabólica y otro para describir una catenaria donde ambas ecuaciones comparten los mismos puntos de paso y punto de origen en el punto medio de la luz a la altura del centro de gravedad de la clave.

Imagen tomada de Hernández-Montes et al 2017

Como se puede apreciar de la figura anterior, la suposición de que la directriz del arco corresponde a una parábola pierde fuerza en beneficio de la teoría del uso de la catenaria cuyo desarrollo se ajusta mucho más a un reparto efectivo de carga.

Si se monta ahora el sistema antifunicular se aprecia cómo en el primer caso (a) el desarrollo de la parábola se saldría de la propia estructura del arco creando efectos no deseados a nivel de resistencia estructural mientras que el segundo modelo (b) muestra la combinación de dos cadenas, una modelizada con una menor densidad lineal para la zona del arco y otra 2.43 veces más densa que se adapta a las zonas de transición y de base constante. Este modelo se adapta, incluso, a la desviación de la simetría que sufre el arco y que, por el momento, sigue siendo una incógnita.

Modelos parabólico (1) y de catenaria (2) colgantes. Imagen tomada de Hernández-Montes et al 2017)

Así la cosa, se puede concluir del análisis estructural del arco de Taq-iKisra que la configuración de equilibrio constructivo se sostiene mecánica y matemáticamente cuando se adopta una distribución combinada de doble curva catenaria en lugar de la que se le podría suponer para la época de curva parabólica y, así, volviendo al comienzo del artículo, uno no puede más que mostrar su admiración por una obra emblemática cuyo nivel de desarrollo matemático y tecnológico se adelantó catorce siglos a nuestro referente mundial, Antonio Gaudí.

Este artículo colaborativo entre Enrique Hernández Montes, Dr. ICCP y catedrático de universidad de Granada y el autor de este blog, fue fruto de una intervención en un anterior blog de divulgación que tuvo una magnífica acogida y es por ello que lo retomo agradeciendo a Enrique su gran labor divulgativa y la pasión que demuestra en su trabajo.

Ref. bibliográficas:

E. Hernández-Montes, M. A. Fernández-Ruiz, M. Aschheim & L. M. Gil-Martín(2017): Structural Knowledge within the 6th Century AD Arch of Taq-iKisra, International Journal of Architectural Heritage, DOI: 10.1080/15583058.2017.1321699

Créditos de imágenes:

https://bit.ly/2JqcqyN.  Rita Greer. Free Art License 1.3

https://bit.ly/2MSzUys.  Hassan Majed [CC BY-SA 4.0]