Hablar del número PI (π), no resultará extraño para cualquiera que haya cursado unos estudios básicos. Aparece en multitud de contextos científicos y técnicos pues es parte esencial de numerosas ecuaciones matemáticas que podemos encontrar en campos tan diversos como la geometría, la astronomía, la óptica, la termodinámica, el cálculo de estructuras o la mecánica de fluidos (por citar solo algunos). Podría afirmarse sin miedo a equivocarnos que es, junto al número «e», la constante que más veces aparece en un formulario generalista de matemáticas, física o ingeniería.
Su grafía fue introducida por el matemático británico William Oughtred, quien también nos ofreció el signo «x» para referirnos a la operación de multiplicación y las abreviaturas «sen» y «cos» («sin» y «cos» para textos en inglés) correspondientes a las funciones seno y coseno respectivamente.
π hace referencia al cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diámetro y, por supuesto, es una constante que resulta independiente del modelo de cálculo escogido. La regla funciona igual de bien al aplicarlo a una moneda, un neumático o la circunferencia barrida por las aspas de un helicóptero, tanto da. PI nos acompaña en todo momento, siempre está inmerso, de alguna manera, en el interior de una curva, de una forma redondeada, de una trayectoria. No lo vemos pero es algo subyacente a miles de manifestaciones de la naturaleza. Aunque no quepa en ella.
El concepto de este número ha resultado una necesidad, de ese tipo de cosas que se dicen que si no existieran habría que inventarlas, porque resulta imprescindible para el avance y evolución de la tecnología que nos impulsa como civilización. Se han encontrado unas primeras aproximaciones al valor de este número en el papiro Rhind, una copia de un documento del siglo XIX a.C. realizada por Ahmes, un escriba de alto rango en el reinado de Apofis I. Ya en occidente, tuvimos que esperar a la genialidad de Arquímedes para encontrar una aproximación al valor real de este número a partir de un proceso recurrente, que hoy se conoce como algoritmo de Arquímedes, donde la circunferencia se iba aproximando al contorno de polígonos inscritos y circunscritos, adaptándose al perímetro, reduciendo el error conforme se aumentaba el número de lados. Diversos estudiosos del imperio romano retomaron los cálculos de Arquímedes con ánimo de avanzar en sus investigaciones sin muchos éxitos destacables. Incluso Ptolomeo llegó a interesarse por esta constante a principios de nuesta era. También se han encontrado vestigios de estos intentos en algunas obras de la civilización Maya que encontraron una gran dificultad al no conocer las fracciones y disponer solo de números enteros. El investigador de la dinastía meridional Liu Song, Zu Chongzhi, realizó sucesivas aproximaciones hasta lograr siete decimales exactos, un hito que se mantendría más de novecientos años.
Los árabes, por su parte, adelantaron sobremanera a los occidentales y sacaron gran ventaja en muchas áreas de las matemáticas, en general y en geometría, en particular. Hasta ocho cifras decimales más que los europeos conocían aquellos. Pero entonces, llegó, el cálculo.
Leibniz ideó una serie infinita de términos que acababa convergiendo a π/4. Este algoritmo resultó ser un orgullo para este académico considerado el último gran genio universal. Su planteamiento, sin embargo, era más elegante que eficiente ya que se necesita de un tiempo de procesamiento excesivo para un resultado pobre (varios miles de millones de operaciones para apenas una decena de decimales).
Newton, sin embargo, desarrolló una serie convergente de números racionales donde cada término tiene una expresión que se apoya en la del término precedente. El éxito de este método si lo comparamos con el anterior es que en unos pocos minutos pueden obtenerse, a mano, dieciséis decimales exactos calculando veintidós términos sin mucha complicación.
Cuando se nos explica el número PI en clase se nos dice que se trata de un número irracional y trascendente. Es irracional porque no puede ser expresado en forma de fracción de números enteros (con denominador no nulo), no presenta un resultado exacto y sus decimales no tienen carácter periódico. Al mismo tiempo, es trascendente porque no es solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Puede decirse que todos los números trascendentes son irracionales pero no todos los irracionales son trascendentes.
Sabemos que cuenta con infinitos decimales de los que, hasta el momento, se han logrado encontrar, en un proceso más de terquedad competitiva que de utilidad matemática, treinta y un billones de cifras decimales (en 2019) empleando modernas técnicas computacionales.
Lo curioso de este número (algo que comparte con toda la familia de irracionales) es la infinidad de términos decimales que posee. Ese mismo concepto de infinitud nos dará una pista de por dónde debemos caminar para justificar el título del artículo.
Sabemos que existe un sistema que adoran nuestras computadoras basado, únicamente, en 1 y 0 combinados adecuadamente. Cualquier número o letra puede ser obtenido ajustando el número y la distribución de ambas cifras.
Dado que solo tiene dos posibles términos estamos hablando de un sistema binario (1-0) en lugar de nuestro habitual sistema decimal de diez cifras (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9).
Existe una correspondencia entre el sistema decimal y el binario (en un momento verás a dónde quiero llegar).
Un número decimal se expresa a partir de asignar coeficientes a cada posición (es un sistema posicional).
Así tendremos que el número 235 se puede expresar como:
Si estuviésemos cambiando de base decimal a binaria, en lugar de usar el 10 como base emplearíamos el 2. Se trataría de partir del número en decimal (235) y proceder a dividirlo entre 2 hasta que el cociente resulte ser la unidad con un resto 0 o 1. El orden de montar el número binario es el que indica la flecha.
Así, el número decimal 235 sería el binario 11101011.
También se pueden convertir números con cifras decimales dado que se mantiene la base pero con exponentes negativos. Partamos del número decimal 8,452 expresándolo en forma de sus componentes decimales.
Desde aquí (ya queda poco) podemos colegir que se podría convertir a binario cualquier número conocido. Si el número es irracional el proceso será interminable y ahí es a donde queremos llegar. Supongamos que convertimos a binario las cifras decimales que nos ofrece el número PI de nuestra calculadora: 3.141592654. Su homólogo, con treinta posiciones binarias fraccionarias, sería el 11.001001000011111101101010100010
Imaginemos que cada posición numérica es una cajita donde podremos alojar una bolita si su número es 1 o no meter nada si su número es 0. Nuestro número PI binario con treinta posiciones fraccionarias tendría treinta y dos cajitas, 16 con bolita y 16 sin ella. ¿Fácil, verdad?
Pues en una memoria como la que usas para guardar tus archivos de texto, tus imágenes, tu música... la información se distribuye de esta misma manera solo que de fábrica viene repleta de bolitas, todo son unos y no hay ningún cero.
Las letras, los números, los píxeles de las imágenes, las notas musicales... todo, una vez convertido, son 0 que se colocan en un lugar determinado «extrayendo la bolita» que había en su lugar. Cuando borramos los archivos, volvemos a colocar «esa bolita» pisando la información previa y, otra vez, todo a 1.
En vez de bolitas, la espintrónica ha permitido que podamos escoger el espín de los electrones (arriba y abajo) a nuestra conveniencia a partir de campos magnéticos orientados. Ahora, podemos asignar un 1 a un electrón que tenga espín arriba y un 0 al electrón con espín abajo y tan contentos porque es un proceso relativamente sencillo y extraordinariamente rápido de procesar (que se lo digan a nuestros discos duros que usan esta tecnología). La cuestión es que para asignar un 1 o un 0, necesitamos un electrón. Si no te has perdido hasta ahora, genial, ahora viene lo que marea.
Se calcula que en el universo existen cien mil millones (100 000 000 000) de galaxias y que cada una podría tener, por término medio, una masa de unos cien mil millones de soles como el nuestro. Esto supone contar con un universo cuya masa equivaldría a unos diez mil trillones (10 000 000 000 000 000 000 000) de soles como el nuestro. Se ha estimado que nuestro sol tiene una masa aproximada de 2 quintillones de gramos.
La mayor parte de la masa del universo se encuentra acopiada en nucleones (los protones y neutrones del átomo). Isaac Asimov, en su libro Cien preguntas básicas sobre la ciencia planteaba una sencilla analogía que replico (sin rigor) a continuación.
En torno al 90% del universo está formado por hidrógeno seguido de un 9% de helio y un 1% de otros elementos. En caso de tomar una muestra de 100 átomos, 90 serían de hidrógeno que cuenta con 1 único protón. Los 9 del helio contendrían 2 protones y 2 neutrones. Si supusiéramos que el elemento que falta fuera uno promedio, como el oxígeno, tendría 8 protones y 8 neutrones por átomo. Así, los cien átomos sumarían 116 protones y 26 neutrones. Como se estima que el universo es eléctricamente neutro (con ciertas diferencias menores para nuestro propósito) podemos considerar que habrá tantas cargas eléctricas negativas (electrones) como positivas (protones). Nótese que el neutrón carece de carga (o tiene carga neutra, si se prefiere).
Para mantener el equilibrio electrostático se tendrían que tener 22 trillones de decillones de electrones.
Pero ¿esto es mucho? Sí. Muchísimo, de hecho, pero no infinito (el universo no lo es). Y esto significa que si quisiéramos recoger todos los decimales de nuestro número PI (o de cualquier otro irracional) tendríamos que ir cogiendo electrones para ir marcando nuestros 1 y 0 rellenando nuestras «cajitas». Y nos quedaríamos sin electrones antes de conseguirlo. Nos faltaría universo para describir completamente el número PI que permite obtener el perímetro de una de las monedas que ahora llevas en el bolsillo.
Por supuesto esto es un simple juego mental que usa las matemáticas como hilo conductor. Hablamos de razones geométricas y el empleo de las secuencias decimales deja de tener sentido en nuestra vida real en el mismo momento en que la precisión alcanzada confronta con la sensibilidad de los instrumentos de medida (es uno de los eternos frentes entre las ciencias teóricas con el cálculo puro y las aplicadas donde lo que prima es que algo funcione).
Para finalizar el artículo permíteme una curiosidad: una poesía que fue diseñada para recordar las veinte primeras cifras del número PI sin más que contar el número de letras de cada palabra.
“Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros,
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros"
Autor: Javier Luque.
Imagen cabecera: https://www.needpix.com/photo/1608809/pi-sky-blue-math-circle-giant-big-abstract-decorative
Muy buen artículo Javier, es admirable tu vuelta de tuerca para hacer tangibles conceptos tan abstractos. Siempre que hablamos del cálculo infinitesimal, de una forma u otra, aparece la eterna rivalidad entre Newton y Leibniz, pero eso daría para otro artículo.
ResponderEliminarTomo nota Guillermo. Sin duda es una de las más relevantes que se conocen pero hay muchas que han ensombrecido la grandeza de sus protagonistas, como la que desarrollaron Wilhem Ostwald y Ernst Mach con Ludwig Boltzmann con trágico final para este. Gracias por la idea.
Eliminar