Por esto necesitamos las turbulencias

"Cuando me vea con Dios le preguntaré dos cosas: el porqué de la relatividad y de la existencia de la turbulencia. Seguro que me sabrá contestar a la primera.” [W. Heisenberg]

Esta frase atribuida a Heisenberg encierra un problema de muy difícil solución que legiones de físicos, matemáticos e ingenieros llevan siglos tratando de resolver. 

Incluso se han abierto concursos (bien remunerados) para seducir a las mentes más brillantes instándoles a arremangarse y trabajar en la resolución de lo que se ha dado en conocer como el problema del milenio.

La naturaleza funciona de forma caótica y la mayoría de los fenómenos que podemos experimentar donde intervienen fluidos participan de este caos.

Un fluido no es más que un medio continuo de moléculas de una sustancia entre las cuales existe una débil atracción que no gozan de las propiedades elásticas que tenderían a restituir su forma original una vez alterada. Líquidos y gases se engloban en esta definición de fluido aunque presentan particularidades diferenciadoras como que las moléculas de baja cohesión de los primeros se deslizan unas sobre otras mientras que en los segundos se mueven libremente ocupando el mayor espacio posible. Esta falta de restricciones al movimiento hace que, salvo condiciones que no se encuentran de forma espontánea en el medio natural,  carezcan de un punto de mínima energía en torno al cual se puedan mover sus moléculas alcanzando un estado de equilibrio. Pensemos, por ejemplo, en la forma en que el humo de un cigarrillo se propaga desarrollando una serie de vórtices que se mueven a lo largo de lo que se conoce como línea de vórtice. Conocer la solución de la ecuación que rige su movimiento turbulento permitiría conocer la concentración de sus contaminantes en cualquier punto en cualquier instante, predecir centroides de condensación, calcular velocidades de propagación...

Una de las propiedades más interesantes desde un punto de vista de su comportamiento es la viscosidad que surge de los choques que se producen entre las moléculas de la sustancia fluida cuando deambulan a distinta velocidad provocando una resistencia a su propio movimiento. Cuantificando la relación que existe entre un esfuerzo rasante aplicado al fluido y el gradiente de velocidad que forma obtenemos la viscosidad dinámica y si a ésta la dividimos entre su propia densidad obtendremos otra forma de entender la viscosidad, la viscosidad cinemática. Para comprender mejor esto, crucial para entender lo que sigue, podemos imaginar un recipiente de grandes dimensiones de paredes transparentes a modo de pecera gigante en cuyo interior vertemos una generosa cantidad de miel sobre cuya superficie libre dispondremos una plancha de madera mientras nosotros nos ubicamos en la posición de observador desde una de las paredes laterales. Al desplazar la madera observaríamos cómo la primera capa de miel (con el espesor de una molécula) entra en contacto íntimo con la madera y la sigue a su velocidad. En la capa inferior (un diámetro molecular más profunda) la segunda fila, aunque sigue siendo arrastrada por la capa anterior, se retrasa con respecto a aquella por efecto de una resistencia tangencial que le ofrece las capas inferiores. Otro tanto ocurre en todas las capas conforme vayamos descendiendo. Se crea así un perfil de velocidades, un gradiente, cuya forma vendrá determinada por el tipo de fluido que se estudie y puede concluir con que toda la masa se encuentre en movimiento o sólo una parte de la misma.

Tan importante resulta la viscosidad que sirve para clasificar los fluidos en dos grandes grupos, newtonianos y no newtonianos. En los primeros, la viscosidad se mantiene constante en todo momento ofreciendo un perfil de velocidad lineal como ocurre con el aire, el agua o la gasolina. En los segundos, la viscosidad cambia de valor con la temperatura y con la tensión cortante a la que se somete. Es lo que ocurre con emulsiones, pastas fluidas, sangre, saliva, magma y algunos productos lácteos por poner ejemplos conocidos.

Aparte de los mencionados, existe un tercer grupo para aplicaciones muy específicas que se escapa del interés de este artículo llamados los superfluidos descubiertos por Piotr Kapitsa en 1937 que consiste en obtener un estado del fluido donde su viscosidad sea totalmente nula lo que resulta un aspecto fundamental para la hidrodinámica cuántica al permitir un flujo circulatorio constante en ausencia de fricción.

El motivo de que resulten tan interesantes las turbulencias es que muchos de los fenómenos naturales que nos rodean (intercambios de calor entre corrientes de viento y marinas, circulación de ríos, flujo de los cuerpos globulares magmáticos, el propio intercambio gaseoso que se produce en los pulmones oxigenando la sangre…) dependen de ellas y muchos de los ingenios industriales que hemos sido capaces de diseñar (circulación de agua en conducciones, intercambiadores de calor, sistemas de impulsión a reacción, maquinaria hidráulica…) o las necesitan para realizar su cometido o son incapaces de funcionar correctamente si aparecen.

Corría el año 1883 cuando el ingeniero y físico irlandés Osborne Reynolds se percató de que la circulación de un fluido podía alterarse de laminar a turbulento con tan sólo variar, al menos, las dimensiones de su conducto, su velocidad o la anteriormente citada viscosidad cinemática. Con esto, desarrolló un coeficiente que ha pasado a ser de obligado estudio para físicos e ingenieros llamado en su honor, coeficiente de Reynolds. Este adimensional que se expresa como

Fórmula de Reynolds

 y sirve para evaluar el grado de turbulencia de un fluido en unas condiciones de circulación dadas. A partir de un valor de esta constante se produce una transición en el fluido de un régimen laminar que se rige por la ecuación analítica de Poiseuille a uno turbulento donde reina el desorden y el movimiento caótico de las moléculas favoreciendo la creación de vórtices cuya propagación se incorporan a las ecuaciones de circulación variando el campo de velocidades.

Cuando se supera un umbral denominado valor crítico de Reynolds se está en condiciones de afirmar que, salvo que nos encontremos en un escenario muy controlado donde podamos intervenir en otros factores, estaremos inmersos en un flujo turbulento (nótese que lo que puede estar afectado de la turbulencia no es el fluido en sí sino su flujo). Uno de esos factores que pueden hacer variar el umbral de turbulencia es la difusividad que, aun siendo un término empleado en escalas moleculares participan del mismo modus operandi que los efectos macroscópicos a los que nos referimos afectando a la cantidad de movimiento y la energía de la masa de fluido de forma que amplifican las inestabilidades que provocará el fenómeno turbulento. 

Cilindro atravesando una corriente en diferentes regímenes

Cuando se establece un régimen de flujo turbulento, este tiende a mantenerse en dicho estado pero requiere de un aporte permanente de energía que es extraída de la propia energía cinética del movimiento turbulento. Es lo que se conoce como energía disipativa. Los flujos que intervienen en las turbulencias son tridimensionales (aunque, dependiendo de la escala empleada, la tercera dimensión pueda resultar prescindible en el cálculo). Todo esto aporta no pocas incógnitas a cada escenario de turbulencia. Las ecuaciones del movimiento no son lineales y cada una depende de sus condiciones de contorno al más puro estilo de aquellos problemas de valores iniciales que resolvíamos en la carrera. El ingeniero y físico francés Claude-Louis Marie Henri Navier diseñó un grupo de ecuaciones aplicables a los fluidos newtonianos que describirían su movimiento. Tan complejo resulta el problema que  no se conoce una solución general a este paquete de ecuaciones y no parece que sea posible alcanzarla en próximas fechas. Aunque figuras de talento como Leray en 1933, Hopf en 1951 o  Ladyzhenskaya en 1954, ya intentaron sin éxito dar con la solución a este épico problema el kazajo matemático Mukhtarbay Otelbaev reclama ahora el millón de dólares que el Instituto Clay de Matemáticas ofreció en el año 2000 por la solución a este problema. No obstante, recomiendo leer este artículo de Francisco R. Villatoro donde entra materia analizando las debilidades de la teoría (es de destacar la dificultad que ofrece el documento de Otelbaev para que otros colegas puedan entender su trabajo pues está desarrollado mayoritariamente en ruso y el lenguaje matemático es universal… hasta cierto punto).

Para apreciar cómo de complejo puede ser el problema podríamos crear un ejemplo mental donde se deseara estudiar el gradiente de velocidad en un perfil, para un régimen laminar con un número de Reynolds inferior a 2100 donde bastaría con tomar un par de decenas de puntos. Si analizamos el mismo perfil, analizado en régimen turbulento para un número de Reynolds de, pongamos por caso, 4 órdenes de magnitud (caso habitual), se aprecia una diferencia entre ambas escalas de medida de 3 órdenes de magnitud lo que obligaría, para dar cumplimiento a las leyes de semejanza, a tomar diez mil veces más medidas que en el caso laminar y esto, únicamente, para conseguir un resultado unidimensional. Hay aplicaciones mucho más exigentes como las aeroespaciales donde se superan los 8 órdenes de magnitud. Ya resulta difícil imaginar la nube de datos que se forma para un perfil tridimensional de malla fina pero es que, a cada uno de estos puntos, habría de aplicársele el paquete de ecuaciones de Navier-Stokes (que es como se llaman al incorporar la teoría sobre la fricción de fluidos en movimiento de este último). Una hercúlea tarea que queda fuera de nuestras posibilidades aunque la computación cuántica abre una puerta a la resolución de ciertos modelos aplicando las herramientas que ofrece la mecánica de fluidos computacional o CFD (Computational Fluids Dynamics).

En la actualidad, se emplean métodos estadísticos para rebajar la presión de cálculo que impone tan alto orden de escala.

Comencé el artículo comentando la importancia de las turbulencias en fenómenos de carácter natural e industrial. Unas veces la turbulencia resulta indeseable y es preciso eliminarla o reducirla y otras veces resulta imprescindible. En el caso de la navegación aérea se busca un cierto equilibrio flexible. Al diseñar una aeronave su perfil ha de ser estudiado cuidadosamente para evitar que las turbulencias provoquen efectos que alteren la navegación y el control del aparato. Para que un avión pueda sustentarse en el aire necesita que exista una masa de aire que adquiera un movimiento descendente (downwash) en relación al resto de la masa de aire. Este aire se «retuerce» sobre la cara superior del ala, el extradós, debido al gradiente de velocidad que se produce. 

Líneas de presión alrededor de un ala.

La variación de velocidad es más notoria en los extremos, más brusca, debido a la reducción de la sección recta provocando que esos remolinos abandonen el ala en sentido descendente siguiendo la línea de vórtice creando lo que se conoce como estela turbulenta. Estos vórtices se propagan lateral y verticalmente a ambos lados bajo el avión y su fuerza depende del peso, velocidad y perfil aerodinámico del ala. Modificar la geometría del ala adecuadamente permite controlar el efecto turbulento y evita que el ala entre en régimen laminar puro lo que podría provocar que dejara de crear sustentación aerodinámica y entrara en pérdidas haciendo ingobernable la nave por una brusca separación de la capa límite. Esta capa límite depende de la forma de interactuar el objeto (nuestra ala) con una masa de fluido en circulación y pone en juego un delicado equilibrio entre presiones y velocidades que al estar afectado por la viscosidad y la fricción escapan del poner analítico de la ecuación de Bernouilli. Este balance de presiones entre los puntos finales de la estela turbulenta y el punto de desprendimiento de esta capa límite provoca un gradiente de presión adverso que genera un flujo de retroceso hacia el sólido (el ala, en el caso que nos ocupa). Los ciclistas de carretera conocen bien este fenómeno porque lo emplean para adelantar, se trata del conocido efecto de «rebufo».

Desprendimiento de la capa límite

Otro tanto se puede encontrar en la hidrodinámica de los cascos de embarcaciones que se diseñan para avanzar eficazmente entre el envite de las mareas huyendo de las corrientes turbillonarias que generan sus hélices impulsoras.

Los automóviles incorporan cada vez perfiles más aerodinámicos con un coeficiente de penetración en el aire más reducido y un recorrido de la masa de aire que envuelve al vehículo que permite una mayor adherencia sobre el firme a la par que retrasa el punto de desprendimiento de la capa límite para minimizar el efecto de flujo de retroceso lo que optimiza el balance de consumo/potencia útil. El caso extremo de esta ingeniería del diseño se puede apreciar en los coches de competición donde se estudia hasta la más ínfima filigrana en el diseño para optimizar el régimen de circulación del bólido.  

Las turbulencias favorecen procesos necesarios para la vida como el movimiento de las masas de aire que permiten los cambios de estación, la génesis de tormentas, el intercambio térmico entre agua y atmósfera o entre atmósfera y tierra. En nuestro cuerpo, la circulación de la sangre por conductos de escasa sección con formas sinuosas provoca que se formen vórtices que cambian un deseable flujo laminar en uno turbulento que permite una más sencilla diagnosis médica en casos de problemas coronarios. En el interior de un motor de combustión interesa que exista una alta turbulencia para asegurar una correcta mezcla entre el aire insuflado y el combustible, no digamos ya de cuando se trata de motores a reacción. La industria farmacéutica y alimentaria tardaría ingentes cantidades de tiempo en mezclar compuestos con un alto grado de homogeneidad si el régimen turbulento no existiera en la masa líquida por lo que se busca la forma de provocarlo. Incluso, en el deporte, la turbulencia es necesaria. Tenis, golf, cricket, béisbol…, todos ellos requieren del comportamiento de la capa límite sobre la bola y es por ello que algunos deportes necesitan adaptar su superficie haciéndola más rugosa o irregular facilitando el control y propiciando que al combinarla con otro fenómeno físico conocido como efecto Magnus (cuando se provoca una desviación lateral al girar la bola alrededor de un eje perpendicular a la trayectoria de vuelo) se obtenga un fabuloso swing que alegre la tarde del espectador.

Visualización del efecto Magnus

Hablar de las turbulencias en arquitectura da para un artículo en sí mismo dado que el estudio de la silueta correcta de los rascacielos más osados en zonas expuestas puede ser definitivo de cara a soportar estados de vibración y empujes que pueden acabar con el fallo de la estructura.

Las turbulencias que tantas veces hemos oído nombrar cuando surgen noticias de catástrofes aéreas o tornados que arrasan poblaciones enteras son mucho más que intensas corrientes de aire, son necesarias para la vida como la conocemos. La física, la biología, la ingeniería o la arquitectura participan de este régimen y conocerlas mejor nos ayuda a avanzar tecnológicamente. Las herramientas matemáticas con las que contamos hacen posible, cada vez, mejores estimaciones de sus efectos y la capacidad predictiva que se lograría de resolver las mencionadas ecuaciones de Navier-Stokes podría suponer poder predecir catástrofes naturales como tornados o tsunamis, conocer con una exactitud sin precedentes la climatología o cuantificar los efectos de la transferencia de calor entre masas de aire y el agua o la tierra (vital para evaluar el cambio climático). Un reto para la ciencia y la tecnología que quizá podamos vislumbrar en las próximas décadas reduciendo el «efecto mariposa» a solo un puñado de ecuaciones.

Autor: Prof. Javier Luque.

Fuentes:

http://francis.naukas.com/2014/01/18/la-demostracion-de-otelbaev-del-problema-del-milenio-de-navier-stokes/
https://www.math.ntnu.no/conservation/2009/006.pdf
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X99964910
http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf

Imágenes:

http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/Images/flowcyl.jpg
Dubaj, vectorized by Guillaume Paumier [Public domain]
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