Carreteras de Silicio: El análisis dimensional y su importancia en la ingeniería

La ingeniería está repleta de artificios matemáticos que permitan simplificar procedimientos de cálculo que llevan asociados una infinidad de etapas, estimaciones, variables…, más aún si resulta necesaria la implementación de coeficientes que, en la práctica, supone dar parte a la experimentación. Es por ello que el uso de parámetros adimensionales es una práctica necesaria y habitual.

Un número o parámetro adimensional no es más que el agrupamiento de varias variables de tal forma que su expresión dimensional más simple es la unidad, es decir, carece de dimensiones. Las magnitudes físicas son valores asociados a una propiedad física medible al compararlas con un patrón que posea dicha magnitud de forma bien definida y su valor depende de la cantidad que posean de esa propiedad del patrón.

Existen magnitudes fundamentales que no necesitan de otras para ser expresadas (longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente, intensidad luminosa o cantidad de sustancia) y derivadas que, como se puede deducir de su nombre, necesitan ser expresadas a partir de las fundamentales (superficie, volumen, densidad, velocidad, aceleración, fuerza, presión, energía…).

Las magnitudes físicas pueden ser expresadas simplemente con un número en forma escalar, como la masa o la temperatura, sin que dependan de otros estados de definición. Las magnitudes vectoriales como la velocidad, la aceleración, la fuerza o el campo eléctrico, por el contrario, dependen de una valor cuantificable, su módulo, pero también de una dirección y un sentido. Alejándonos un poco del uso estándar encontraríamos un tercer grupo de magnitudes denominadas tensoriales caracterizadas por un comportamiento físico que cambian tensorialmente con el cambio del sistema de referencia asociado a distintos observadores en movimiento (marco de trabajo imprescindible en algo tan cotidiano como el uso de un GPS para navegación o la comunicación entre satélites).

El análisis dimensional es fundamental en la modelización de prototipos a escala, por ejemplo, en aeronáutica, automoción o ingeniería civil pues a partir de ensayos puede obtenerse información de lo que sucederá sobre un fenómeno físico a tamaño real que cumpla una semejanza física con su modelo escalado. Si los parámetros adimensionales escogidos como variables independientes para un experimento gozan del mismo valor en objeto real y modelo lo que este experimente podrá extrapolarse a aquel y conocer cómo le afectarán las diferentes experiencias físicas al objeto real antes de llevarlo a ejecución. Pensemos en el ahorro económico y de medios que esto supone. Construir una aeronave a tamaño real para realizar pruebas sucesivas donde se ponga de manifiesto siluetas incompatibles con la sustentación o que presenten coeficientes de forma que provoquen retenciones aerodinámicas que afecten a la navegabilidad sería impensable para un ciclo industrial. Construir un rascacielos con un perfil tal que lo hiciera inestable ante un viento fácilmente alcanzable sería un riesgo inasumible. Algo parecido podría ocurrir con la estructura de un puente en un desfiladero donde se deben combinar rigurosamente acciones de viento, con sobrecargas de uso, cargas muertas, aceleraciones dinámicas…, de forma tal que solo un resultado exitoso en la combinación probabilística más desfavorable de acciones garantiza una seguridad de uso.

Imaginemos que pretendemos hallar por la vía experimental la fuerza de arrastre que se produce al introducir una esfera perfectamente lisa de diámetro conocido en el seno de un fluido en movimiento uniforme de densidad y viscosidad conocidas. Del valor de dicha fuerza participarán las variables que hemos adelantado como dato conocido: la densidad, la viscosidad, la velocidad y el tamaño de la esfera representado por su diámetro. Si quisiéramos hallar en qué medida interviene cada una de estas cuatro variables en el valor final de la fuerza habría que realizar rigurosamente una batería de N experimentos para cada una de ellas sin alterar el valor de las demás. Esto supone realizar nada más y nada menos que N^4 ensayos. Si partimos de un mínimo de N=15 pruebas para obtener un valor estadístico aceptable estaremos hablando de 50625 ensayos, cosa ciertamente inasumible. ¿Cómo podríamos reducir este valor sin perder fiabilidad? La respuesta la tiene la ecuación de dimensiones y los parámetros adimensionales.

Existen una serie de números adimensionales bien conocidos por ingenieros, físicos y matemáticos que expresan distintas relaciones y recojo a continuación los más empleados.

- El número de Arquímedes para el estudio del movimiento de fluidos debido a diferencias de densidad.

- El número de Biot para comparar los mecanismos de transmisión de calor de conducción en el interior con la convección en el exterior.

- El número de Euler que establece la relación entre las fuerzas de presión y las de inercia en pruebas de modelos aerodinámicos.

- El factor de fricción de Darcy que determina las pérdidas de energía por fricción relacionando la pérdida de carga por fricción con la altura dinámica.

- El factor de Fourier que relaciona la velocidad del mecanismo de conducción del calor y la velocidad de almacenamiento de la energía.

- El número de Froude que relaciona las fuerzas de inercia con la fuerza gravitatoria sirviendo para determinar la criticidad de un flujo.

El número de Reynolds que se emplea para caracterizar el tipo de flujo (laminar o turbulento) al relacionar las fuerzas inerciales y las fuerzas de fricción usando parámetros geométricos y de flujo).

- El número de Graetz que caracteriza el flujo de componente laminar en un conducto.

En este caso este adimensional se apoya en otros dos, el de Reynolds y el de Prandtl.

- El número de Mach que permite definir los efectos de la compresibilidad en un flujo relacionando las fuerzas de inercia y las debidas a dicha compresibilidad.

El valor nulo de este parámetro indicaría una velocidad de propagación infinita que se produciría en un flujo absolutamente incompresible.

- El número de Prandtl es un parámetro proporcional al cociente entre la viscosidad y la difusividad térmica que tiene en un adimensional análogo para la transferencia de masa en el número de Schmidt.

- El número de Weber relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas de tensión superficial.

Acabamos de ver sólo unos ejemplos de números adimensionales aunque hay muchos más. Para que estos números puedan emplearse en una ecuación que describa un fenómeno físico se debe cumplir el principio de homogeneidad dimensional donde las dimensiones en ambos lados de la igualdad formulada deberán ser iguales y las dimensiones de todos los términos que aparecen como sumandos en la ecuación deben ser idénticamente iguales. Veamos un ejemplo clásico de la mecánica de fluidos, la ecuación de Bernoulli, que describe una declaración del principio de conservación de la energía recogiendo que la suma de la energía debida a la presión más la correspondiente a la energía cinética más la de la potencial se mantiene constante cuando el flujo lo es.

Veamos las unidades que emplea cada término para comprobar su coherencia dimensional.

Primer término:

Segundo término:

Tercer término:

Efectivamente, todos los términos presentan unidades coherentes dimensionalmente hablando.

Volviendo al caso particular de nuestro cuerpo esférico, la fuerza de arrastre se puede expresar como una relación funcional de las cuatro magnitudes citadas por lo que tenemos frente a nosotros un problema con 3 magnitudes fundamentales (longitud, masa y tiempo) y 5 magnitudes derivadas (fuerza, velocidad, densidad, viscosidad y diámetro). Para poder obtener los grupos adimensionales formados con las variables puestas en juego recurrimos al conocido como teorema de «Pi de Vaschy-Buckingham» que establece que el número de grupos adimensionales que se utilizan para describir una situación física real que involucre a «n» variables es igual a «n-j», donde «j» será el número de dimensiones fundamentales y definirá el rango de la matriz dimensional. En nuestro caso i = n – j donde n=5 y j=3 por lo que i=2.

Para su determinación algebraica expresaremos la variable de estudio F como una función exponencial de las otras cuatro en el modo:

Partiendo de la tabla de unidades tendremos que su estado dimensional se caracterizará por la ecuación:

Y agrupando adecuadamente los exponentes de idéntica base se tendría:

Igualando los exponentes en ambos miembros obtenemos un sistema de ecuaciones compatible indeterminado donde habrá que escoger una variable sobre las que expresar las restantes:

1 = a+b

1 = -3a+b+c+d

-2 = -b-d

Expresando en función de “b” las otras variables «a», «c» y «d» se tiene:

a = 1-b

c = 2-b

d=c=2-b

Volviendo a la ecuación principal

Y reduciendo la expresión resulta finalmente

Así, los parámetros adimensionales que se desprenden de esta expresión son los adimensionales PI siguientes:

Ahora, hemos reducido ese fabuloso problema del que partíamos de N^4 ensayos a N^2, es decir, de los 50625 ensayos hemos bajado a 225 cosa mucho más asumible para las simulaciones.

Aún así debe recordarse que la técnica del análisis dimensional no puede predecir qué variables son las importantes, qué valor alcanzan las constantes ni es capaz de explicar los mecanismos implicados en el proceso físico, eso, es trabajo de laboratorio/taller pero resulta de grandísima utilidad para relacionar los prototipos modelados con los objetos reales y reduce enormemente el trabajo analítico.

Prof. Javie Luque.